拉普拉斯算子(欧几里德空间的二阶微分算子)

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拉普拉斯算子（英文名：Laplacian/皮埃尔-西蒙·拉普拉斯 Operator），是N维欧几里得空间中的一个二阶微分算子，记作Δ或∇2，定义为梯度（∇f）的散度（∇·f）。

拉普拉斯算子具有各向同性和旋转不变性，在力学、电磁学、波动理论以及量子力学中占据重要地位。它及其相关方程在位势理论中应用广泛，可用于引力、静电、热传导及流体势流问题；在随机过程中，对应布朗运动的平稳方程；在黎曼几何里，其推广形式为拉普拉斯–欧金尼奥·贝尔特拉米算子；在图像处理中用于边缘检测。

定义

拉普拉斯算子（常记作Δ或∇2），是N维欧几里得空间中的一个二阶微分算子，定义为梯度（∇f）的散度（∇·f）。因此，如果函数f是二阶可微的实函数，则函数f的拉普拉斯算子定义为：Δf=∇2f=∇·∇·f。更具体一点，函数f的拉普拉斯算子是其在笛卡尔坐标系xi中所有非混合二阶偏导数的和，即。

拉普拉斯算子也是函数黑塞矩阵Hf的迹，即。满足拉普拉斯方程∇2f=0的函数f称为调和函数。在二维坐标系下，调和函数f=f（x，y）满足。

常见表示式

参考资料：

基本性质

拉普拉斯算子是线性二阶微分算子，具有各向同性和旋转不变性。

应用

拉普拉斯算子及其相关方程在位势理论中应用广泛，可用于引力、静电、热传导及流体势流问题；在随机过程中，对应布朗运动的平稳方程；在黎曼几何里，其推广形式为皮埃尔-西蒙·拉普拉斯欧金尼奥·贝尔特拉米算子；在复分析中，解析函数的实部与虚部均为调和函数。此外，在数字图像处理中，它也被用于边缘检测。

推广

拉普拉斯–贝尔特拉米算子是欧式空间中拉普拉斯算子在黎曼流形上的推广。通过从三维空间推广到四维时空所得到的类似算子，被称为达朗贝尔算子。作用于向量函数的拉普拉斯算子变体被称为向量拉普拉斯算子，类似地也可以定义张量拉普拉斯算子。拉普拉斯算子的平方被称为双调和算子。

意义

拉普拉斯算子是霍奇理论的核心，并且是德拉姆上同调的结果。由该算子引出的拉普拉斯方程是最典型的椭圆型方程之一，具有广泛的应用背景。求解拉普拉斯方程是物理学、力学等领域中一类重要的数学问题。

参考资料 >

Laplacian.Wolfram MathWorld.2026-10-23

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Laplace’s equation.ucdavis.2026-10-23

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The Laplacian in polar coordinates and spherical harmonics.普渡大学.2026-10-23

第五章 Laplace方程.浙江大学.2026-10-23

定义

常见表示式

基本性质

相关方程

拉普拉斯方程

亥姆霍兹微分方程

波动方程

薛定谔方程

应用

推广

意义